Nekoliko oblasti matematike se razvilo u potpunoj izolaciji, koristeći sopstvene „nedešifrovane“ kodirane jezike. U novoj studiji objavljenoj u Zborniku radova Nacionalne akademije nauka, Tamas Hausel, profesor matematike na Institutu za nauku i tehnologiju Austrije (ISTA), predstavlja „velike algebre“, dvosmerni matematički „rečnik“ između simetrije i algebre, i geometrije, koja bi mogla da ojača vezu između dalekih svetova kvantne fizike i teorije brojeva.
Matematika, najtačnija među naučnim disciplinama, mogla bi se posmatrati kao krajnja potraga za apsolutnom istinom. Međutim, matematički putevi ka istini često moraju da prevaziđu ogromne prepreke, poput osvajanja nezamislivo visokih planinskih vrhova ili izgradnje džinovskih mostova između izolovanih kontinenata.
Matematički svet obiluje misterijama i nekoliko matematičkih disciplina se razvilo zamršenim putevima — u potpunoj izolaciji jedna od druge. Dakle, utvrđivanje nepobitne istine o složenim pojavama u fizičkom svetu oslanja se na intuiciju i dosta apstrakcije.
Čak i fundamentalni aspekti fizike guraju matematiku na nove visine složenosti. Ovo posebno važi za simetrije, uz pomoć kojih su fizičari teoretizirali i otkrili čitav zoološki vrt subatomskih čestica koje čine naš univerzum.
U izuzetno ambicioznom poduhvatu, Hausel, profesor na Institutu za nauku i tehnologiju Austrije (ISTA), ne samo da je pretpostavio već i dokazao novi matematički alat nazvan „velike algebre“.
Ova nova teorema je uporediva sa „rečnikom“ koji dešifruje najapstraktnije aspekte matematičke simetrije koristeći algebarsku geometriju. Radeći na preseku simetrije, apstraktne algebre i geometrije, velike algebre koriste opipljivije geometrijske informacije da rekapituliraju sofisticirane matematičke informacije o simetrijama.
„Sa velikim algebrama, informacije sa ‘vrha matematičkog ledenog brega’ mogu nam dati neviđene uvide u skrivene dubine misterioznog sveta grupa simetrije,“ kaže Hausel.
Sa ovim matematičkim otkrićem, Hausel nastoji da konsoliduje vezu između dva udaljena polja matematike.
„Zamislite, s jedne strane, svet matematičkih reprezentacija kvantne fizike, as druge strane, veoma, veoma daleki, čisto matematički svet teorije brojeva. Nadam se da sam sa ovim radom došao korak bliže. uspostavljanju stabilne veze između ova dva sveta“.
Filozof i matematičar Rene Dekart iz 17. veka pokazao nam je da možemo da razumemo geometriju objekata koristeći algebarske jednačine. Tako je on prvi „preveo” matematičke informacije između ovih ranije odvojenih oblasti.
„Volim da posmatram odnose između različitih matematičkih oblasti kao rečnike koji prevode informacije između često međusobno nerazumljivih matematičkih jezika“, kaže Hausel.
Do sada je razvijeno nekoliko takvih matematičkih „rečnika“, ali neki prevode informacije samo u jednom pravcu, ostavljajući informacije o povratku u potpunosti šifrovane. Štaviše, termin „algebra“ danas obuhvata kako klasičnu algebru, kao u Dekartovo vreme, tako i apstraktnu algebru, odnosno proučavanje matematičkih struktura koje se ne mogu nužno izraziti numeričkim vrednostima. Ovo dodaje još jedan sloj složenosti. Sada, Hausel koristi apstraktnu algebru i algebarsku geometriju kao dvosmerni „rečnik“.
U matematici, simetrija se definiše kao oblik „invarijantnosti“. Grupa transformacija koje održavaju matematički objekat nepromenjenim naziva se „grupa simetrije“. Oni su klasifikovani kao „kontinuirani“ (npr. rotacija kruga ili sfere) ili „diskretni“ (npr. ogledanje objekta). Grupe kontinualne simetrije su matematički predstavljene matricama — pravougaonim nizovima brojeva.
Polazeći od matrične reprezentacije kontinuirane grupe simetrije, Hausel može izračunati veliku algebru i geometrijski predstaviti njena bitna svojstva crtanjem njenog „skeleta“ i „nerva“ na matematičkoj površini.
Kostur i nervi velike algebre stvaraju zanimljive oblike za 3D štampanje koji rekapituliraju sofisticirane aspekte originalnih matematičkih informacija, čime se zatvara krug prevođenja.
„Posebno sam uzbuđen zbog ovog rada, jer nam pruža potpuno nov pristup proučavanju reprezentacija kontinuiranih grupa simetrije. Sa velikim algebrama, matematička ‘translacija’ ne funkcioniše samo u jednom pravcu, već u oba.“
Kako bi velike algebre mogle da ojačaju vezu između kvantne fizike i teorije brojeva, dve oblasti matematike koje se naizgled razlikuju? Prvo, matematika koja stoji iza kvantne fizike u velikoj meri koristi matrice — pravougaone nizove brojeva.
Međutim, ove matrice su tipično „nekomutativne“, što znači da množenje prve matrice drugom ne daje isti rezultat kao množenje druge matrice prvom. Ovo predstavlja problem u algebri i algebarskoj geometriji jer nekomutativna algebra još nije dobro shvaćena.
Velike algebre sada rešavaju ovaj problem: kada se izračuna, velika algebra je komutativni „matematički prevod“ nekomutativne matrične algebre. Dakle, informacije koje su prvobitno zatvorene u nekomutativnim matricama mogu biti dekodirane i predstavljene geometrijski da bi se otkrila njihova skrivena svojstva.
Drugo, Hausel pokazuje da velike algebre ne samo da otkrivaju odnose između povezanih grupa simetrije, već i kada su njihovi takozvani „Lenglandsovi duali“ povezani. Ovi duali su centralni koncept u čisto matematičkom svetu teorije brojeva. U Langlandsovom programu, veoma zamršenom rečniku velikih razmera koji nastoji da premosti izolovane matematičke „kontinete“, Langlandsov dualitet je koncept ili alat koji omogućava „mapiranje“ matematičkih informacija između različitih kategorija.
„U mom radu, čini se da velike algebre povezuju različite grupe simetrije tačno kada su njihovi Langlandsovi duali povezani, što je prilično iznenađujući ishod sa mogućim primenama u teoriji brojeva“, kaže Hausel.
„U idealnom slučaju, velike algebre bi mi omogućile da povežem Lenglandsov dualitet u teoriji brojeva sa kvantnom fizikom“, kaže Hausel.
Za sada je uspeo da pokaže da velike algebre rešavaju probleme na oba ova kontinenta. Magla je počela da se rasipa, a kontinenti kvantne fizike i teorije brojeva ugledali su jedni druge planine i obale na horizontu. Uskoro, umesto da povezuje kontinente samo čamcem, most velikih algebri bi mogao da omogući lakši prelazak preko matematičkog moreuza koji ih razdvaja.
